作者：晶鉆儀器 James Zhuge, Ph.D.
杭州銳達數字技術有限公司提供翻譯
前言
2019年7月，美國專利局批準了美國晶鉆儀器公司的一項發明專利，該項專利把多分辨頻譜分析技術用于模態分析和其他振動分析和控制領域。發明人 是晶鉆儀器公司的創始人James Zhuge 博士和 Jeff Zhao 博士，美國專利局申請號 15/668,995。本文是關于該發明的一部分描述和幾個具體應用。
機械結構和聲學應用中的很多問題要求譜分析采用非均勻的頻率分辨率。在這些應用中，我們更傾向于用對數刻度來描述頻率軸，由此低頻段有比高頻段更高的頻率分辨率。在介紹之后我們會討論一些例子。
在CI產品描述0001《動態信號分析技術》[2]中，我們討論了各種頻譜是如何計算的，包括線性譜、自譜、互譜、相位譜、相關函數和頻率響應函數。在現代動態信號分析儀產品中，這些譜都是通過Cooley-Tukey FFT算法計算的[1]。
離散傅里葉變換（DFT）的基本公式：
其中，
x(n) 時域波形樣本
n 樣本下標
N 樣本總數
k很很鲁国产精品高清视频免费 有限分析頻率，對應FFT中心
X(k) x(n)的離散傅里葉變換形式
在多數情況下，我們采用基數為2的FFT算法，要求樣本總數是2的整數冪。
圖1 FFT算法結構的一個例子
很很鲁国产精品高清视频免费FFT的一個顯著特點是將采樣率均勻的時域信號轉換成頻域信號會在整個頻率范圍內產生均勻的頻率分辨率。頻率分辨率dF，是時域塊信號的時長和塊大小N乘積的倒數。比如，將FFT應用到時長0.5s、塊大小N=1024的時域塊信號，那么頻率分辨率為1/(0.5 sec * 1024) = 0.001953125 Hz。
時域信號經FFT變換后，頻譜的頻率分辨率在分析頻率范圍內應均勻分布。10Hz處的頻率分辨率和1000Hz處的頻率分辨率相等。當分析中要求采用非均勻分布的頻率分辨率時，基于FFT的譜分析就不適用了。
DFT計算次數的量級是N*N，FFT計算次數的量級是NlogN，其中N是時域信號的塊大小。如果1965年Cooley和Tukey沒有發明出FFT算法，人們會使用效率較低的離散傅里葉變換（DFT）算法進行譜分析。DFT的優點是頻譜的分辨率不必均勻分布。實際上，在做DFT變換時，頻率分辨率可以任意分布，從這一點看DFT算法似乎優于FFT算法，然而DFT的計算花費太高了。
如果我們能夠找到一種計算效率和FFT一樣高，并且可以使頻譜的分辨率非線性分布（尤其是對數分布）的算法，將會是革命性的。
經過20多年的研發，晶鉆儀器公司成功將多分辨率頻譜分析方法引入并應用到其多個產品中，包括CI隨機振動控制器、動態信號分析儀和模態分析軟件很很鲁国产精品高清视频免费。多分辨率頻譜分析方法解決上述提到的問題并具有一系列的優點，這篇文章將討論它的應用和結果。
要求采用非均勻頻率分辨率的例子
很很鲁国产精品高清视频免费在這一節，我們討論幾個要求采用非均勻頻率分辨率的例子。
音樂頻率
鋼琴鍵盤上不同音調的頻率不是沿線性尺度均勻分布，而是沿對數尺度均勻分布。
很很鲁国产精品高清视频免费其他樂器的音調具有和鋼琴相似的頻率分布。人們根據頻率來區分所聽到聲音的音調，這在對數尺度上很容易描述。
第n個鍵的頻率的計算公式如下：
（a’=A4=A440是標準鋼琴的第49個鍵）
上式可以寫成：
反過來，從標準鋼琴頻率440Hz開始，可以用如下公式計算鋼琴的鍵號：
用戶希望使用動態信號分析儀采集鋼琴聲音的時域信號，并對不同的聲調進行精確分析。由于人們聽到兩個聲調的區別主要是由兩個頻率大小的比率而不是兩個頻率大小的差引起的，那么就要求27.5Hz處的頻率分辨率比1760Hz處的高。如果頻譜分析儀在分析頻率范圍內分辨率都為1Hz，那么1760Hz的頻率讀數誤差小于0.1%，而27.5Hz的誤差可高達3%。這個例子告訴我們，設計一個可以提供頻率分辨率沿對數尺度均勻分布，而不是像FFT一樣沿線性尺度均勻分布的信號分析儀，將會是更好的解決方案。
共振頻率的阻尼估計
結構的動力學方程是
對應的臨界阻尼系數為
或者寫為
其中是結構的固有頻率。
利用固有頻率和阻尼比的定義，可以把動力學方程寫成
阻尼比是無量綱的。
阻尼是結構動力學特性的主要因素。阻尼比ζ決定共振的強度，可以通過頻響函數測幅值計算得到。結構的阻尼比主要由材料決定，例如塑料的阻尼比比鋼要高得多。換句話說，給定材料的阻尼比通常在一定范圍內。
下表是幾種材料的粘性阻尼比[3]:
很很鲁国产精品高清视频免费現在我們來看看如何用FFT信號分析儀來評估結構的阻尼比。利用FFT信號分析儀，可以計算出響應和激勵之間的頻響函數（FRF）。通常響應由安裝在結構上的加速度傳感器測得，激勵是力錘或振動臺對結構施加的力。
FRF可以通過文獻2中的方法計算得到。一個典型的FRF波德圖如下：
一種確定阻尼比的方法是在頻響函數共振頻率處采用“3dB法”，也稱“半功率法”。阻尼和FRF共振峰峰值往下取3dB左右兩邊的頻率寬度成正比。
通過公式Q = f0/(f2-f1)求得阻尼因子，其中
f0 共振峰頻率
f2 共振峰往下取3dB右側所對應的頻率
很很鲁国产精品高清视频免费f1 共振峰往下取3dB左側所對應的頻率
衰減因子
Q 阻尼因子
ζ 阻尼比
%Cr 臨界阻尼百分數（%Cr=100%xζ）
很很鲁国产精品高清视频免费? 周期應力和應變的相位角
為了計算阻尼因子Q = f0/(f2-f1)，需要確定三個頻率：FRF峰值所對應的頻率f0以及峰值下降3dB所對應的頻率f2和f1。頻率分辨率在計算中起關鍵作用，因為分辨率不足，計算出的Q值出現多個數量級的偏差的現象是很常見的。
對于特定的材料，其阻尼比ζ在一定的范圍內，頻譜分析要求在較低的共振頻率處具有更高分辨率。舉個例子，假設某種材料的阻尼比約為0.001，當共振頻率為1000Hz時，f2和f1處的頻率分辨率必須小于1Hz，當共振頻率為10Hz，f2和f1處的頻率分辨率必須小于0.01Hz。
振動臺振動控制
很很鲁国产精品高清视频免费在許多振動控制測試中，頻率軸通常是用對數刻度而不是線性刻度繪制的。下面兩圖是Mil-810中典型的測試配置目標譜：
在介紹多分辨率頻譜分析法之前，我們知道目前市場上所有振動控制器都使用在分析頻率范圍內頻率分辨率均勻的FFT算法。換句話說，我們將多分辨率頻譜分析法應用到振動控制器上是史無前例的。
多分辨率頻譜分析介紹
很很鲁国产精品高清视频免费由晶鉆儀器公司研發的多分辨率頻譜分析方法是對單通FFT的一種改進。它的基本原理是對相同的輸入時間流信號進行兩通或多通的FFT變換，然后在頻域中合成一個頻譜。下圖兩通FFT的工作示意圖：
當多個通道的時域信號輸入時，信號處理器將分塊接收，并通過FFT將時域塊信號轉換成頻域信號。同時，對原始時域信號應用濾波器，生成較低頻率的時域信號。FFT的第二通對較低頻率的時域信號使用較高分辨率的FFT變換，生成頻譜。最后，信號處理器將兩組頻譜綜合在一起，合成的頻譜有兩種不同的頻率分辨率，一種為dF，另一種為dF/M，其中M是采樣因子。
上面我們簡單地描述了多分辨率頻譜分析法的過程，然而實現起來是非常復雜的，有很多細節需要考慮，包括：
- 如何進行重疊處理?
- 使用哪種類型的濾波器，FIR還是IIR?
3.濾波器的濾波延時會有什么影響?
- 濾波器的相位畸變會有什么影響?
- 采樣因子從2、4、8中選取還是取其它的值?
- 如何將平均應用于多通FFT?
- 這種方法對什么類型的信號適用?對什么類型的信號不適用？
- 如何將數據窗口應用于多通時域信號?
很很鲁国产精品高清视频免费晶鉆儀器公司的產品在應用多分辨率頻譜分析方法時，上述問題都得到了解決。產品軟件不僅可以進行多分辨率頻譜分析，還可以存儲數據、顯示結果和生成報告。
抽樣過程中生成連續的時間流信號，因此連續信號比瞬態信號更適合使用多分辨率頻譜分析法。例如，錘擊試驗通過產生瞬態信號來計算FRF，它就不適合使用多分辨率頻譜分析法。
很很鲁国产精品高清视频免费將多分辨率頻譜分析法應用于結構振動分析。
多分辨率分析在模態分析的應用
我們通過一個模態試驗來比較多分辨率頻譜和單分辨率頻譜，模態分析軟件為晶鉆儀器自主研發的EDM Modal。被測結構是一塊鋼板，用彈簧繩垂直懸掛，以模擬自由邊界條件。用振動臺產生的白噪聲來激勵鋼板，用單軸加速度傳感器采集鋼板的響應信號。下面描述測試配置的詳細信息：采樣率51.2kHz，分析頻率范圍23kHz以內，塊大小4096，譜線數1800，頻率分辨率12.5Hz，通過漢寧窗減少信號泄露，用平均次數為32的線性平均模式來計算譜。利用多分辨率頻譜分析在低頻段獲得1.56Hz（12.5Hz的1/8）的分辨率。低頻段和高頻段的劃分頻率是2812.5Hz。在低頻段，由于分辨率提高，多分辨率譜的結果更好。在高頻段，多分辨率頻譜和單分辨率頻譜具有相同的頻率分辨率，因此得到相似的結果。多分辨率頻譜和單分辨率頻譜其它配置都相同。
很很鲁国产精品高清视频免费下圖是整個頻率范圍內的多分辨率譜和單分辨率譜：
很很鲁国产精品高清视频免费對多分辨率頻譜的高分辨率段進行放大，和單分辨率頻譜相比，得到如下頻譜圖：
很很鲁国产精品高清视频免费在低頻段，多分辨率頻譜比單分辨率頻譜分辨率要高得多。從圖中可以看出，多分辨率頻譜由于塊大小更大、譜線數更多，峰值顯示更清晰。多分辨率頻譜比單分辨率頻譜的頻響函數曲線更光滑整潔。這有助于更好的計算FRF的質量因子和峰值。如下表所示，從表中可以看出，在低頻段出現四種共振頻率，在多分辨率頻譜下Q和FRF峰值要高很多。此外，在高頻段，由于單分辨率譜和多分辨率譜的分辨率是相同的，因此Q和FRF峰值也非常接近。常規FFT變換的Q和FRF峰值與真實值相差十個或數百個數量級，如果人們用這些錯誤的值進行分析，對結構進行優化，得出結果必然是錯誤的。
| Resonant Frequency | Q estimation using MR | Q estimation using regular FFT | FRF Amplitude Estimation using MR (g/LBF) | FRF Amplitude Estimation using regular FFT (g/LBF) |
| 960.94 Hz | 311.069 | 40.138 | 12.269 | 2.832 |
| 1418.75 Hz | 313.292 | 120.452 | 10.687 | 3.274 |
| 1789.06 Hz | 97.435 | 52.326 | 9.993 | 5.823 |
| 2453.13 Hz | 461.059 | 89.479 | 60.277 | 18.42 |
| 5350 Hz | 126.317 | 126.19 | 33.72 | 34.74 |
| 8462.5 Hz | 172.296 | 185.73 | 32.08 | 31.47 |
| 12725 Hz | 94.498 | 88.965 | 186.23 | 187.72 |
多分辨率分析在隨機振動控制的應用
將多分辨率頻譜分析方法進一步應用到振動測試控制系統中，這意味著將通過基于多分辨率頻譜分析方法的頻譜計算輸出信號。為了在保持合理的反饋控制時間內同時提高低頻段和高頻段的控制性能，可以在控制過程中對低頻段和高頻段應用不同的頻率分辨率。晶鉆儀器公司的隨機振動控制器產品將多分辨率頻譜分析法應用于計算所有功率譜、傳遞函數矩陣和振動臺的驅動信號。
很很鲁国产精品高清视频免费由于低頻段的驅動信號計算包含很多的細節，因此我們需要對低頻段使用更高的頻率分辨率。初始階段將用戶定義的目標譜分成高頻和低頻兩段。晶鉆儀器公司的Spider-81振動控制器將在這兩段目標譜上工作。
很很鲁国产精品高清视频免费下面我們對單分辨率頻譜控制和多分辨率頻譜控制進行比較。下圖FFT譜線數為400，頻率范圍2kHz。單分辨率頻譜只有5Hz一種頻率分辨率，多分辨率頻譜低頻段分辨率為0.625Hz，高頻段分辨率為5Hz。圖中綠線為目標譜，黑線為單分辨率頻譜控制曲線，藍線是多分辨率頻譜控制曲線。
很很鲁国产精品高清视频免费我們將單分辨率頻譜和多分辨率頻譜的控制曲線分開繪制。顯然，多分辨率頻譜比單分辨率頻譜控制得好。
結論
信號分析儀采用FFT算法對時域信號變換后，生成的頻譜只有均勻的頻率分辨率。然而，機械結構和聲學應用中的很多問題要求頻譜在低頻段有更高的頻率分辨率。由晶鉆儀器公司研發的多分辨率頻譜分析法可以將時域信號轉換成具有兩種以上的頻率分辨率的頻譜。該方法已經成功應用于隨機振動控制、動態信號分析和模態測試中，可以大大提高分析精度。
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參考文獻
[1]. ; (1965). . . 19 (90): 297–301. :. .
[2]. (Product Note #001, 32 pages, 1.1 MB, Crystal Instruments)
Describes the basic dynamic signal analysis theory including Fourier Transform, data windowing, linear spectrum, power spectrum, cross spectrum, FRF and coherence, averaging, transient capture and hammer test, overlapping process, SDOF system.
很很鲁国产精品高清视频免费[3]. V. Adams and A. Askenazi, Building Better Products with Finite Element Analysis, OnWord Press, Santa Fe, N.M., 1999.